Topologia bardzo ogólna (I)

Ten temat musi powracać, bo to jeden z wielkich lejtmotywów matematyki współczesnej. Będzie powracał ciągle a skoro ma powracać to trzeba go kiedyś zacząć. Zacznę go więc teraz bo chciałbym w bardzo niedalekiej przyszłości o pewnych aspektach geometrii od tej strony napisać. W istocie potrzebować będę na razie podstawowych definicji, trochę terminologii i paru elementarnych pojęć i twierdzeń i na tym na razie poprzestanę. Trochę w ramach powtórki, by ustalić notację i uściślić rozumienie pojęć, tym razem postanowiłem nie posiłkować się Wikipedią, tylko przygotować krótki przegląd samemu.

Topologia to pewna struktura na zbiorze. Historycznie pojęcie topologii poprzedzone jest ważnym, naturalnym i bardzo intuicyjnym pojęciem tzw. metryki i przestrzeni metrycznej. Metryka pozwala zdefiniować pewną szczególną, wyróżnioną topologię na przestrzeni metrycznej. Ja jednak, idąc szlakiem logicznym - od pojęć bardziej ogólnych ku bardziej złożonym - a nie historycznym i opierając się pokusie dydaktyzmu (to przecież nie wykład tylko mniej lub bardziej luźne myśli) pozwolę sobie zacząć od abstrakyjnego pojęcia.
Ach, jeszcze jedna uwaga, której zgodnie z utartym w piśmiennictwie zwyczajem nie może przy okazji mówienia o topologii zabraknąć: w pojęciu topologii wysublimowana została geometryczna intuicja dotycząca takich pojęć jak "blisko", "daleko", "ciągłość", "skupianie się w przestrzeni", deformacja itp. Więcej na ten temat kiedy zabrniemy dalej.

Uwaga 1: Mała - dotycząca symboli:"∐" oznacza tu sumę rodziny zbiorów. Innymi słowy jest to zbiór zdefiniowany następująco x∈∐S ⇔∃y(y∈s ∧ x∈y).
Używając tej notacji można zapisać znaną ze szkoły sumę zbiorów oznaczaną symbolem "∪" można zapiusac jako: A∪B=∐{A,B}.
Podobnie z symbolem "∏" w tym kontekście oznaczamy przcięcie rodziny zbiorów: x∈∏S ⇔∀y(y∈S ⇒ x∈y). Mamy też oczywiście A∩B=∏{A,B}
Co do innych oznaczeń jakie będę stosował, to liczność (moc, ilość elementów) zbioru q będę oznaczął jako #q. Liczby naturalne oznaczał będę przez N. W szczególności, w przyjętej notacji #q∈N oznacza, że q jest zbiorem skończonym.
Zmienne oznaczał będę małymi i dużymi literami. Starałem się wprowadzić pewne heurystyczne zasady co do użycia małych i dużych liter ułatwiające rozumienie formuł. Powinny one stać się jasne w trakcie lektury, nie będę ich tu więc explicite wypowiadał. Posługuję się jednak w formułach językiem jednosortowym, więc jest to jedynie ukłon w stronę typografii nie mający znaczenia dla samej ich treści.

Definicja 1:
Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X,T), gdzie X jest niepustym zbiorem a T jest rodziną podzbiorów zbioru X, taką, że spełnione są następujące aksjomaty:
1. X∈T
2. ∅∈T
3. ∀S (S⊆T ⇒ ∐S∈T)
4. ∀x,y ((x∈T ∧ y∈T) ⇒ x∩y∈T)



Uwaga 2: Terminologia: Dla danej przestrzeni topologicznej (X,T) rodzinę T nazywamy topologią na zbiorze X sam zaś zbiór X zbiorem podkładowym przestrzeni topologicznej. Elementy rodziny T nazywamy zbiorami otwartymi. Dopełnienia elementów rodziny T (a więc zbiory postaci X-y gdzie y∈T) nazywamy zbiorami domkniętymi. Jak widać chociażby po zbiorach X i ∅ wchodzących w skład każdej topologii na X, rodzina zbiorów otwartych i domkniętych w danej topologii nie musi być rozłączna.

Czasem na oznaczenie topologii przestrzeni (X,T) używa się określenia top((X,T)) , czyli jest po prostu top((X,T))=T, na określenie zaś wszystkich zbiorów domkniętych cotop((X,T)). Mamy oczywiste: x∈top((X,T))⇔(X-x)∈cotop((X,T)). W przypadku, kiedy nie budzi to wątpliwości bo np. w kółko mowimy o jakiejś konkretnej przestrzeni bądź jednoznacznie dającej się wyznaczyć topologii, czasem opuszcza się pedantyczne pisanie top((X, T)) i pisze po prostu top(X) lub cotop(X)

Uwaga 3: Poza trywialnymi przypadkami zbiorów X będących singletonami (czyli zbiorami jednoelementowymi), na zbiorze można wprowadzić wiele topologii, czyli, innymi słowy, jest zwykle wiele różnych przestrzeni topologicznych o takim samym zbiorze podkładowym. Pomiędzy topologiami na tym samym zbiorze można wprowadzić relację "bycia silniejszą" (oznaczę ją przez zwykły znak "<") w ten oto sposób: Dla dwóch przestrzeni topologicznych (X, T1) i (X,T2) o tym samym zbiorze podkładowym mówimy, że topologia T2 jest silniejsza od T1 gdy T1 jest zawarta w T2 (T1⇔ T1⊊T2). W takiej sytuacji mówimy odpowiednio o T1 jako o słabszej od T2. Ogólnie, dwie topologie nie muszą być ze sobą porównywalne, relacja "bycia silniejszą" porządkuje zbiór topologii jedynie częściowo. Natomiast na każdym zbiorze mamy topologię najsilniejszą i najsłabszą, które porównywalne są z wszystkimi innymi topologiami. Topologia najsłabsza to tzw topologia trywialna dla której T={X,∅}, najsilniejsza zaś to tzw. topologia dyskretna dla której T=P(X)={w:w⊆X}. W pierwszej mamy jedynie dwa zbiory otwarte, w drugiej wszystkie podzbiory X są zbiorami otwartymi.

Uwaga 4. Topologie na danym zbiorze X nie są koniecznie porównywalne. Jest prostym ćwiczeniem na zastosowanie definicji i znajomość rachunku zbiorów: jeżeli (X,T1) i (X,T2) są przestrzeniami topologicznymi to jest nią też (X,T1∩T2).

Uwaga 5. Jest kilka niemal natychmiastowych twierdzeń dotyczących zbiorów domkniętych w danej topologii dowodzonych wprost z aksjomatów. Nie ubliżając mam nadzieję niczyjej inteligencji, przytoczę najoczywistsze, skrótowo i bez dowodu:

Twierdzenie 1
Jeżeli (X,T) jest przestrzenią topologiczną to:
1. Suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
2. Przecięcie dowolnej rodziny zbiorów domnkniętych jest zbiorem domkniętym

Na zbiorze podzbiorów zbioru podkładowego przestrzeni (X,T) , oznaczanym przez P(X) można zdefiniować interesujące i ważne operatory:

int: P(X) ∋ s->∐{t:t∈top((X,T)) ∧ t⊆s} ∈ top((X,T))
cl: P(X) ∋ s->∏{t:t∈cotop((X,T)) ∧ s⊆t} ∈ cotop((X,T))

(dla wygody, czasem mówimy, że są one zdefiniowane na podzbiorach przestrzeni (X,T) co nie jest oczywiście precyzyjne)
Tłumaczenie na ludzki język jest takie: int zwany też operatorem wnętrza przypisuje danemu pozdzbiorowi s zbioru X największy w sensie relacji "zawierania się" otwarty zbiór zawarty w s. cl czyli operator domknięcia przypisuje danemu podzbiorowi s zbioru X najmniejszy w sensie relacji zawierania się domknięty podzbiór X.

Ponownie kilka pojęć:
Przy ustalonej przestrzeni topologicznej (X,T) zbiór s⊆X nazywamy:
- brzegowym , jeżeli int(s)=∅
- gęstym, jeżeli cl(s)=X
- nigdziegęstym, jeżeli int(cl(s))=∅

Jeżeli mamy dwie przestrzenie topologiczne (niekoniecznie różne): (X,T) i (Y,S) funkcję f:X->Y nazywamy ciągłą, jeżeli ∀w(w∈S ⇒ f^-1(w)∈T)
Inną równoważną (dowód łatwy) definicją częściej spotykaną w praktyce i bardziej "zgodną" z definicją ciągłości znaną z analizy jest następująca:
Funkcję f:X->Y nazywamy ciągłą, jeżeli ∀x∀w ((x∈X ∧ w∈S ∧ f(x)∈w) ⇒ ∃v (v∈T ∧ x∈v ∧ f(v)⊆w))

Często wprowadza się topologię na danym zbiorze przez tzw. bazę otoczeń. Robi się to w sposób następujący:
Mamy zbiór X. Zbiór B⊆P(X) nazywamy bazą, jeżeli:
1) ∀x(x∈X ⇒ ∃b(b∈B ∧ x∈b))
2) ∀x∀b∀c(( b∈B ∧ c∈B x∈b∩c)⇒ ∃d(x∈d ∧ d∈B ∧ d⊆b∩c))
Najsłabszą topologię T na X zawierająca wszystkie zbiory z bazy B nazywamy topologią generowaną przez bazę B a zbiór B bazą tej topologii. Można stosunkowo łatwo pokazać, że dla danej bazy B topologia ta jest scharakteryzowana następująco T={v:∃S(S⊆B ∧ v=∐S)}. Innymi słowy zbiory otwarte są sumami dowolnej rodziny podzbiorów bazy.

W taki sposób wprowadza się m.in. naturalną topologię na R (zbiorze liczb rzeczywistych), biorąc jako bazę rodzinę odcinków otwartych postaci (p,q)={x:p≨x≨q} dla p, q rzeczywistych. Małe żonglowanie nierównościami pozwala łatwo sprawdzić, że mamy do czynienia z bazą.

Jeżeli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to przestrzeń topologiczną (Y,S) nazywamy jej podprzestrzenią jeżeli Y⊆X i S={v:∃w(w∈T ∧ v=Y∩w)}. Łatwo widzieć, że podzbiór Y zbioru X przy ustalonej przestrzeni (X,T) wyznacza jednoznacznie przestrzeń (Y,S) gdzie S jest zdefiniowane j.w. Trzeba tylko sprawdzić, że S jest zawsze w takim przypadku topologią.


Ze względu na to jak dobrze można wyróżnić czy oddzielić pewne zbiory przy pomocy zbiorów otwartych wprowadza się ważną klasyfikację topologii. Opiera się ona na tzw. postulatach, czy, jak się często pisze, aksjomatach odzielania. Oto one.

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T1-przestrzenią jeżeli:
∀x ∀y ((x∈X ∧ y∈X ∧ x≠y) ⇒ ∃v(v∈T ∧ x∈v ∧ y∉v))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T2-przestrzenią (przestrzenią Hausdorffa) jeżeli:
∀x ∀y ((x∈X ∧ y∈X ∧ x≠y) ⇒ ∃v ∃w (v∈T ∧ w∈T ∧ x∈v ∧ y∈w ∧ v∩w=∅))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T3-przestrzenią (przestrzenią regularną) jeżeli:
(X,T) jest T1-przestrzenią i ∀x∀k ((x∈X ∧ k∈cotop((X,T)) ∧ x∉k) ⇒ ∃v∃w (v∈T ∧ w∈T ∧ x∈w ∧ k⊆w ∧ v∩w=∅ ))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T3½-przestrzenia (przestrzenią całkowicie regularną) jeżeli:
(X,T) jest T1-przestrzenią i ∀x∀k((x∈X ∧ k∈cotop((X,T)) ∧ x ∉k) ⇒ ∃f( f-funkcja ciągła z przestrzeni (X.T) do R z naturalną topologią taka, że f(X)⊆[0,1] i f(x)=0 i f(k)={1}))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T4 przestrzenią (przestrzenią normalną) jeżeli:
(X,T) jest T1-przestrzenia i ∀k∀j((k∈cotop((X,T)) ∧ j∈cotop((X,T)) ∧ k∩j=∅)⇒∃v∃w (v∈T ∧ w∈T ∧ k⊆v ∧ j⊆w ∧ v∩w=∅))

Definiuje się czasem, choć rzadko zakłada się aż tak mocne własności ogólnej przestrzenie topologicznej w praktyce, jeszcze przestrzenie T5 i T6, tj. przestrzenie dziedzicznie normalne i doskonale normalne. Pierwsze są T4-przestrzeniami, które mają dodatkową własność, że każda jej podprzestrzeń jest przestrzenią normalną. Drugie to takie T4-przestrzenie, że każdy zbiór domknięty we nich jest częścią wspólną przeliczalnej ilości zbiorów otwartych.

Na zupełny już koniec klasyczne i bardzo ważne definicje:

Przestrzeń topologiczną (X,T) nazywamy zwartą, jeżeli jest T2-przestrzenią i
∀P((P⊆T ∧ X=∐P)⇒∃n∃Q(#Q∈N ∧ Q⊆P ∧ X=∐Q)).
Ludzkim językiem: jest przestrzenią Hausdorffa i z każdego pokrycia otwartego da się wybrać podpokrycie skończone.

Przestrzeń topologiczną (X,T) nazywamy spójną, jeżeli
∀v,w((v∈T ∧ w∈T ∧ v∪w=X) ⇒ (v∩w≠∅))

Zawiadomienie

Uprzejmie donoszę, że na doskonałym (polecam, polecam i jeszcze raz polecam!) blogu "What's new" prowadzonego przez Terrence'a Tao, autor rozpoczął publikację swoich wykładów na temat potoków Ricciego. Celem tego cyklu ma być przybliżenie idei leżących u podstaw najgłośniejszego osiągnięcia matematycznego ostatnich lat (ba, może i wszechczasów !) tj. dowodu hipotezy Poincare przez rosyjskiego matematyka Grigorija Perelmana.
Tematyka ta jest niezwykle, ważna i ściśle związana z tematyką "Drogi do rzeczywistości".
Gorąco polecam. Pojawił się już trzeci artykuł z serii, aczkolwiek ja tkwię przy pierwszym (o numerze 0) - powtórkowym. Nie ukrywam, że jest w mojej postawie w tym względzie pewna mamoniowatość...

Sensacje geometryczno-historyczne.

Przynajmniej dla mnie.
Otóż, kiedy przyjrzeć się pierwszym postulatom Euklidesa, to brzmią one dziś - szczególnie w kontekście abstrakcyjnego ujęcia Hilberta - nieco archaicznie. Hilbert nie czuje już potrzeby, którą zdaje się widzięć Euklides i nie wyjaśniania czym jest punkt, prosta itd. a jedynie wypowiada zdania instruujące nas co jest prawdą o punktach, prostych, odcinkach, kątach nie wdając się w ich naturę Powtarzam to do znudzenia. Okazuje się jednak, że z tą archaicznością Euklidesa to nie jest do końca tak. Dzieło Euklidesa w dowodach nie odwołuje się do intuicji wyrażonych w tych "dziwnych" definicjach (jak np takiej: "Prosta to długość bez rozciągłości"), ale buduje geometrię ściśle i operając się na założonych własnościach punktów, prostych i odpowiednich relacjach, nie powołując się żadną dodatkową informację dokładnie tak jak u Hilberta. Zatem można by w zasadzie wyrzucić owe "dziwne" definicje bez szkody dla logicznej struktury teorii. Skąd więc owe mistyczne niby-to-definicje ? Otóż, z doskonałej książki Lucio Russo "Zapomniana rewolucja", dowiedziałem się o hipotezie, że to po prostu komentarze do Euklidesa, wyjaśniające jak "przyłożyć" abstrakcyjną geometrię do rzeczywistego świata. Komentarze, oddające intuicje stojące za takim a nie innym wyborem pojęć pierwotnych i jak należy je sobie wyobrażać. Nie pochodziłyby one w skład kanonicznego tekstu, ale funkcjonowały przez lata jako osobne komentarze, prawdopodobnie znacznie późniejsze niż sam tekst, następnie przez jakiegoś kopistę - kompilatora dołączone trwale do tekstu który stanowił bazę dla kopii które dotarły do czasów późniejszych. Mówię tu o tekście kanonicznym świadomie nie nazywając go oryginalnym tekstem Euklidesa, bowiem dość prawdopodobne jest, że i on jest kompilacją. W szczególności V księgę poświęconą teorii proporcji, którą wielu uważa za pierwsze poprawne przedstawienie teorii liczb rzeczywistych przypisuje się innemu matematykowi greckiemu - Eudoksosowi. Do kwestii V księgi warto będzie jeszcze wrócić.
Mimo, pewnego dysonansu, który wprowadzają owe wyjaśnienia, ich wprowadzenie jest dla mnie zrozumiałe. Aksjomaty nie wiszą w próżni. Ujmują w ściśły dedukcyjny system intuicje. Są interpretacją rzeczywistości. Ich tworzenie wymaga świadomego wyboru pojęć i abstrakcji. Dziś, w epoce wielkich bibliotek, masowych i względnie tanich wydawnictw, fantastycznych osiągnięć edytorskich, przemysłu edukacyjno-naukowego w którym każde dzieło obrasta łatwo dostępnymi komentarzami, przypisami, książkami popularyzującymi itd. być może ciężko jest zrozumieć, że ktoś ośmielił się zaingerować w mistrzowski tekst dodając do niego przypisy na prawach jego części. Żeby zakończyć tą dygresję historyczną przytaczając motto które David Hilbert umieścił na wstępie swoich "Podstaw geometrii" - cytat z "Krytyki czystego rozumu" Immanuela Kanta: "Cała wiedza ludzka zaczyna się od intuicji, przechodząc później do fazy pojęć a kończąc na ideach". Prawdopodobnie, pewien wpływowy kopista Euklidesa uznał, że nie wspominając o intuicjach a na pojęciach i ideach poprzestając dzieło pozostanie niezrozumiałe.

Druga z sensacji to oryginalna forma aksjomatów Hilberta (ja podałem ich wariant w trochę zmodyfikowanym ujęciu K.Borsuka i W.Szmielew). Otóż w "Grundlagen" Hilbert do pięciu grup aksjomatów (podobnych do tych jakie przytoczyłem) zakończonych aksjomatem Archimedesa (ale bez naszego aksjomatu AH.V.2), dodaje aksjomat "Pełności". W moim tłumaczeniu z (dostępnego tu) angielskiego tłumaczenia E. J. Townsend'a niemieckiego oryginału, brzmi on tak:

Nie jest możliwym dodanie do systemu punktów, linii prostych i płaszczyzn dodatkowych elementów w taki sposób, że system tak uogólniony będzie nową geometrią spełniającą wszystkie pięć grup aksjomatów. innymi słowy, elementy geometrii tworzą system niepodatny na rozszerzenia o ile uznamy, że są w nim spełnione wymienione pięć grup aksjomatów.

Uwaga pierwsza - dla pewnego, nieznaczącego, uproszczenia podałem aksjomatykę geometrii planarnej, oryginalny system tak Hilberta jak i Borsuka-Szmielew zawierał dodatkowe pojecie pierwotne , płaszczyzny. Kontynuując to uproszczenie, proponuję na moment zapomnieć o słowie "płaszczyzna" w powyższym aksjomacie.
Uwaga druga - mówiąc językiem z poprzedniego postu Hilbert po prostu postuluje kategoryczność systemu aksjomatów, dodaje więc aksjomat metamatematyczny. Bardzo dziwne, szokujące wręcz.
Oczywiście system proponowany przez Borsuka i Szmielew takiego aksjomatu nie zawiera, natomiast w jego miejsce zawiera aksjomat Cantora. Natomiast kategoryczności systemu dowodzi się, a nie ją postuluje. Aksjomat Cantora ma też nieco inny charakter, niż pozostałe aksomaty. Diabeł tkwi w szczególe. Otóż kwantyfikuje się w nim po wszystkich zbiorach odcinków spełniających pewną własność. Teorie w których kwantyfikacja przebiega po wszystkich możliwych zbiorach bądź relacjach, są teoriami tzw. drugiego rzędu. Tak więc kategoryczność uzyskuje się za pewną cenę: logicznego skomplikowania teorii. Wrócę jeszcze w którymś z następnych postów do tego interesującego i ważnego zagadnienia.
Skoro mam tłumaczenie pracy Hilberta, postaram się je odrobinę przestudiować i jeżeli (a z pobieżnej lektury wynika, że tak będzie) natrafię na inne interesujące zagadnienia z tym związane, również nie omieszkam poruszyć ich na blogu.

Drążąc fundamenty: mała wycieczka metamatematyczna.

Po długiej przerwie (mam nadzieję, że podobna się już nie powtórzy) wracam jeszcze - na razie bardziej metamatematycznie niż geometrycznie - do tematyki aksjomatów w ogóle a aksjomatów Hilberta w szególności.
Nie bawiąc się, przynajmniej na razie, w formalne definicje modelu danej teorii, chciałbym się mimo wszystko posłużyć tym pojęciem - kluczowym w dociekaniach logicznych i metamatematycznych, do których zaliczają się badania aksjomatyk.
W ostatnim wpisie podałem aksjomatyzację geometrii płaskiej bliską temu co podał Hilbert. Aksjomaty, to system pewnych zdań, a więc aby móc je sformułować potrzebujemy języka. Posługując się tym samym językiem możemy wypowiadać inne zdania i jeżeli posługując się poprawnym logicznie wnioskowaniem jesteśmy w stanie udowodnić je tj. wywieść przy założeniu że aksjomaty są prawdziwe, zdania owe nazywamy twierdzeniami. Obracamy się ciągle w świecie języka jednakże. Pytanie jakie się rodzi brzmi - o czym nam te zdania mówią, o czym mówią twierdzenia ?

Aby to określić potrzebujemy jakiejś rzeczywistości w której jesteśmy w stanie wyróżnić byty odpowiadające pojęciom języka. Jeżeli teraz wszystkie twierdzenia są prawdziwe w owej rzeczywistości (czyli po prostu w niej zachodzą) to ową rzeczywistość określamy mianem modelu danej teorii. Sposób w jaki tłumaczymy pojećia pierwotne teorii na obiekty modelu w zasadzie zależy od konstrukcji modelu. Natomiast co to znaczy, że zachodzi bardziej skomplikowane zdanie zapisane przy użyciu pojęć pierwotnych, spójników logicznych i kwantyfikatorów zależy od konstrukcji modelu sposobu w przy tłumaczeniu terminów pierwotnych i niezależnych od modelu reguł tłumaczenia spójników i kwantyfikatorów.
Brzmi to trochę skomplikowanie, ale chcę uniknąć wyprowadzania całego formalnego aparatu teorii modeli (jest masa podręczników do logiki matematycznej, w których jest to naprawdę świetnie zrobione) a równocześnie uczynić wpisy na blogu w miarę samowystarczalnymi.

OK. Żeby teraz rozjaśnić nieco to co powiedziałem przyjrzyjmy się owej zabawie w działaniu. Przypomne trzy pierwsze aksjomaty Hilberta z ostatniego postu:

AH.I.1. Przez dwa punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
AH.I.2. Każda prosta zawiera co najmniej dwa punkty.
AH.I.3 Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na jednej i tej samej prostej.

Teraz zbuduję model dla tych trzech aksjomatów. Punktami będą literki "A", "B", i "C", prostymi ciągi zbudowane z tych literek, przechodzenie punktu przez prostą oznaczać będzie, że literka znajduje się w napisie oznaczającym prostą. Oto proste:
"AB", "BC", "AC"

Szybki rzut oka i można stwierdzić, że przy takiej interpretacji aksomaty naszej mini-geometrii są spełnione.
Własność układu aksjomatów polegającą na tym, że nie da się udowodnić na ich podstawie dwóch zdań sprzecznych nazywamy niesprzecznością (konsystentnością).
Okazuje się, jak udowodnił Kurt Godel, dla teorii pierwszego rzędu jest ona równoważna, temu, że teoria posiada model. Pokazując model naszej mini-geometrii pokazaliśmy więc jej niesprzeczność.

Weźmy teraz inny model M2. Jest zbudowany jak poprzednio, (punkty to literki, proste to napisy i leżenie na to występowanie literki w napisie), tyle tylko, że tak punktów jak i prostych ma więcej.
Punkty: "A", "B", "C", "D", proste: "AB", "BC", "AC", "AD", "BD", "CD"
Ponownie, szybkie spojrzenie pozwala nam stwierdzić, że aksjomaty są w tym świecie literek i napisów spełnione.

Jak widać oba światy, M1 i M2, mimo, że spełnione są w nich te same aksjomaty różnią się od siebie dość istotnie: ilością punktów i prostych. To typowa sytuacja - teoria często ma więcej niż jeden model. Aksjomatycznie wprowadzane teorie algebraiczne, np. grup, pierścieni, ciał opisują podobnie jak nasza mini-geometria wiele możliwych struktur. Czasem jednak - a tak jest na przykład wtedy, gdy jak Euklides a potem Hilbert chcemy aksjomatyzować twór intuicyjnie nam znany i jedyny tj. płaszczyznę - potrzebujemy od układu aksjomatów własności tzw. kategoryczności. Teoria kategoryczna to taka, że każdy model jej aksjomatów jest w istocie tak samo zbudowany, wszystkie elementy, relacje, funkcje jednego, dają sie przełożyć na drugi. Matematycy mówią, że owe modele są izomorficzne.

Podam teraz pewne twierdzenie naszej mini-geometrii:

Twierdzenie:
Każde dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.

Dowód jest oczywiście łatwiuteńki: jeżeli byłoby inaczej mielibyśmy dwie proste, które mają dwa różne punkty wspólne a to jest sprzeczne z AH.I.1, bowiem przez dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta.

Pokazałem twierdzenie, które nie myśląc o żadnym konretnym, modelu wywiodłem jedynie z aksjomatów. Ale oczywiście łatwo jest sprawdzić, że tak w naszym modelu M1 jak i M2 owo twierdzenie zachodzi, chociaż apriori mogłoby tak nie być. Okazuje się, że reguły rządzące tłumaczeniem zdań języka na własności modelu aksjomatów gwarantują, że jeżeli dane zdanie uda nam sie z aksjomatów i aksjomaty mająjakiś model to własność którą owo zdanie opisuje będzie spełniona w każdym modelu.
Oczywiście w poszczególnych modelach mogą być spełnione zdania które nie są spełnione w innym. na przykład w naszym modelu M2 zachodzi:

Zdanie 1:
Dla każdej prostej istnieją co najmniej dwa punkty nie leżące na niej.

To zdanie nie jest jednak prawdziwe w modelu M1.

W świetle tego co powiedziałem o bezwzględnym spełnianiu w każdym modelu zdań które da się wywieść z aksjomatów, pokazałem konstruując M1 i M2, że Zdanie 1, operujące tymi samy mi pojęciami co aksjomaty (więc wyrażone w tym samym języku) nie da się z aksjomatów wyprowadzić. Mówimy w metamatematyce, że jest od nich niezależne.
Takie rozumowanie kryje się właśnie za dowodem niezależności piątego postulatu Euklidesa od pozostałych. Geometria Euklidesowa daje nam model, w którym jest on spełniony, geometria hiperboliczna taki, w którym spełniony nie jest a właściwie spełnione jest jego zaprzeczenie). Jest więc niezależny od kasjomatów pozostałych.

Naturalne jest pytanie odwrotne: czy jeżeli każdy model układu aksjomatów posiada taką samą własność, to zdanie ową własność opisujące da się wywieść z aksjomatów. Okazuje się, że dla dużej i ważnej klasy teorii, tzw. teorii pierwszego rzędu jest to prawdą. Tą własność teorii pierwszego rzędu nazywamy pełnością.

To tyle na razie rozważań metamatematycznych. Po szczegóły warto sięgnąć do regularnych podręczników. Ja natomiast wkrótce powrócę do geometrii.

Aksjomaty Hilberta - light

Penrose w rozdziale drugim wzmiankuje tylko, choć oczywiście w, dla jego celów, wystarczającym zakresie kwestie aksjomatyki geometrii, koncentrując się następnie na geometrii hiperbolicznej. Chciałbym się jednakże trochę bliżej przyjrzeć kwestii aksjomatyki, szczególnie, że studiując bardzo mało miałem okazji z aksjomatycznym podejściem do geometrii się zetknąć.
Szperając, znalazłem bardzo ciekawą, choć dzieło z jakichś przyczyn przerwano, stronę poświęconą oryginalnej aksjomatyce (a właściwie całym "Elementom") Euklidesa. Oto link. Aksjomatyka Euklidesa jest pierwszym ujęciem aksjomatycznym geometrii najbliższej nam intuicją a zarazem pierwszym ujęciem aksjomatycznym teorii matematycznej w ogóle. Euklides wyznaczył standardy ścisłości na tysiące lat, w zasadzie tak właśnie uprawia się matematykę do dziś, choć wymagania formalne wzrosły. Odkrycie innych geometrii, to efekt badań nad samą aksjomatyką właśnie, w szczególności nad tzw. niezależnością aksjomatyki Euklidesa, a zupełnie już konkretnie nad możliwością udowodnienia piątego postulatu Euklidesa przy pomocy pozostałych aksjomatów. Tą historię opisuje zresztą Penorse. Z drugiej strony odpowiednie spojrzenie, w szczególności abstrahowanie od intuicyjnego pojęcia prostej czyni te inne geometrie podobnie intuicyjnymi. To uświadomiła nam między innymi geometria powierzchni.
Np. tzw geometria eliptyczna (wkrótce coś bliżej napiszę) badana była przecież dla celów praktycznych w astronomii od czasów starożytnych jest to bowiem geometria punktów i kół wielkich sfery. Odkrycie w niej tego samego euklidesowego z ducha porządku dającego się zaksjomatyzować wymagało jednak abstrakcji od sfery jako powierzchni zanurzonej w trójwymiarowym euklidesowym świecie i do potraktowania jej jako samoistnego geometrycznego świata.
Postaram się przedstawić kilka podejść do aksjomatyki, w ujęciu trochę nowszym niż oryginalne Euklidesowe i przedyskutować pewne ich aspekty.
Zacznę od wielkiego reformatora spojrzenia na geometrię, widzącego w niej już ściśle formalny system, tj. do aksjomatyki D.Hilberta. Aksjomatyka tu przedstawiona jest modyfikacją aksjomatów geometrii płaskiej przytocznych w "Geometrii poglądowej" Hilberta i Cohn-Vosena. Kusiło mnie, żeby sięgnąć do nieco bardziej sformalizowanej ich postaci z wspaniałej książki Karola Borsuka i Wandy Szmielew "Podstawy geometrii", ale ostatecznie zdecydowałem się na małą redakcję wersji z "G.p". Mamy więc następujące aksjomaty:

I - Aksjomaty przynależności
AH.I.1. Przez dwa punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
AH.I.2. Każda prosta zawiera co najmniej dwa punkty.
AH.I.3 Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na jednej i tej samej prostej.

II - Aksjomaty uporządkowania
AH.II.1 Z trzech punktów prostej jeden i tylko jeden leży na między dwoma pozostałymi.
AH.II.2 Dla dowolnych punktów A i B istnieje jeden co najmniej taki punkt C, że B leży pomiędzy A i C
AH.II.3 Jeżeli pewna prosta przecina bok trójkąta (tzn. zawiera punkt leżący pomiędzy dwoma wierzchołkami), to albo przechodzi przez przeciwległy wierzchołek, albo przecina jeszcze jeden bok.

III-Aksjomaty przystawania
AH.III.1 Odcinek można zawsze odłożyć na prostej od pewnego punktu w obie strony. Otrzymany odcinek nazywa się przystającym do poprzedniego.
AH.III.2 Jeżeli dwa odcinki są przystające do trzeciego, to są wzajemnie przystające.
AH.III.3 Jeżeli na każdym z dwu odcinków znajduje się taki punkt, że jedna z powstałych części pierwszego odcinka jest przystająca do jednej z częsci drugiego odcinka, i druga część pierwszego z odcinków jest przystająca do drugiej częsci drugiego z nich to oba odcinki są przystające.
AH.III.4 Kąt można odłożyć w sposób jednoznaczny przy półprostej po jednej lub po drugiej stronie płaszczyzny. Otrzymany kąt nazywa się przystającym do poprzedniego.
AH.IV.5 Jeżeli dwa trójkąty mają dwa boki i kąt między nimi zawarty jednakowe, to są przystające.

IV-Aksjomat równoległości
AH.IV.1 Przez każdy punkt nie leżący na dowolnej prostej a przechodzi jedna i tylko jedna prosta nie przecinająca a.

V-Aksjomaty ciągłości
AH.V.1 (aksjomat Archimedesa). Każdy odcinek można zmierzyć każdym innym.
AH.V.2 (aksjomat Cantora). Dla każdego nieskończonego ciągu odcinków, z których każdy zawiera się w poprzednim, istnieje punkt wspólny wszystkim tym odcinkom.

Parę uwag o tych aksjomatach. Jest ich istotnie więcej niż aksjomatów (postulatów u Euklidesa). Bierze się to stąd, że Euklides przyjmuje jednak pewnie niejawne założenia i intuicje które upycha w definicjach. W wydaniu hilbertowskim, pojęć pierwotnych jest mało, Hilbert nie mówi nic o ich naturze ponad to co wynika ściśle z aksjomatów. Przyjrzyjmy się tym pojęciom:
1. Punkt jest pojęciem pierwotnym.
2. Prosta jest pojęciem pierwotnym.
3. Relacje "punkt leży na prostej" i "prosta przechodzi przez punkt", "prosta zawiera punkt" zachodzące pomiędzy punktami i prostymi są synonimami i określają w istocie jedną relację zwaną relacją incydencji.
Stwierdzenie to nie budzi raczej wątpliwości czytelnika, aczkolwiek pedant mógłby oponować i miałby rację. Ze sformułowania tu przytoczonego w istocie to nie wynika. Takie są pułapki użycia języka naturalnego w matematyce - niepostrzeżenie wkrada się teorię matematyczną lieratura. Porzdnie napisana aksjomatyka używałaby jedynie symboli eliminując niejednoznaczność. W ramach ćwiczenia (zabawy) można popróbować zapisać te kasjomaty w postaci systemu formalnego, albo pójść na łatwiznę i znaleźć to gotowe w sieci. Z drugiej strony absolutna formalna pedantyczność prowadzi w zasadzie do tekstu ledwie strawnego w czytaniu. Trochę literatury w matematyce, w trosce o czytelnika i ufając jego dobrej woli i zdrowemu rozsądkowi, warto zostawić
4. W drugiej grupie aksjomatów pojawia się kolejne pojęcie pierwotne teorii: relacja trzyczłonowa "leżenie między". Aksjomaty tej grupy opisują jej własności.
5. W grupie trzeciej pojawia się kilka nowych pojęć: "odcinek", "kąt", "płaszczyzna", "trójkąt" i relacja przystawania, spośród nich tylko relacja przystawania jest pojęciem pierwotnym. Odcinek i kąt dają się zdefiniować przy pomocy relacji "leżenia między" dla punktów. Pojawiają sie tu jednak pewne subtelności wynikające z języka jaki przyjęliśmy. Intuicja podpowiada nam, że odcinek i kąt to pewne figury, które np. możemy narysować na płaszczyźnie. Pojęcia figury ani zbioru nie ma jednak w naszym języku. Możemy postąpić dwojako. Można zinterpretować nasze pojęcia pierwotne w teorii która pojęcie zbiór zawiera (więc np. w teorii zbiorów właśnie) i posłużyć się aparatem metateorii. Można też postapić inaczej i zdefiniować kolejne relacje i predykaty oddające nie tyle samo pojęcie odcinka, to bowiem pewnie będzie nieosiągalne, ale ważne do wypowiedzenia twierdzeń relacje np. relację incydencji punktu z odcinkiem, prostej z odcinkiem, potem punktu i prostej z katem itd. I tak incydencja punktu A z odcinkiem BC oznacza tyle, że punkt A jest w relacji "leżenia między" końcami odcinka czyli B i C. Nie potrzeba nam więc własciwie słowa odcinek. Relacja incydencji prostej a z odcinkiem BC zachodzi wtedy, jeżeli istnieje punkt X taki, że X jest w relacji incydencji z odcinekiem BC (dopiero co zdefiniowaliśmy co to znaczy) i jednoczśnie X jest w relacji incydencji z a (pojęcie pierwotne) itd.
6. Z pośród pojęć nowych w aksjomatach grupy III, które wymieniłem w punkcie poprzednim pojęcie "płaszczyzna" nie definiuje się w terminach poprzednich pojęć ale oczywiście powinno zostać wyleliminowane. W języku ściśle formalnym tak właśnie by było, pojecia tego bowiem nie trzeba tam używać. Wszystko co mamy na myśli mówiąc płaszczyzna ukrywa się w stosownym użyciu kwantyfiaktorów. Otóż gdybyśmy porządnie zdefiniowali kąt wystarczyłoby powiedzieć, że są dokładnie dwa różne możliwe sposoby odłożenia kątą przystającego do danego przy półprostej. Co ciekawe, Wydaje się, że w aksjomatach AH.IV.5 i AH.I.3 kryje się istota pojęcia wymiaru - ważnego i skomplikowanego jak się okaże.
7. Aksjomaty AH.V.1 i AH.5.2 dopełniają definicję geometrii o istotne własności metryczne i topologiczne. Omówię je wkrótce osobno.

Przy okazji pisania tego postu przeglądając "Geometrię przeglądową" zorientowałem się, że podany tam aksjomat AH.III.3 ma postać:
AH.III.3' Jeżeli na każdym z dwu przystających odcinków znajduje się taki punkt, że jedna z powstałych części pierwszego odcinka jest przystająca do jednej z częsci drugiego odcinka, to druga część pierwszego z odcinków jest przystająca do drugiej częsci drugiego z nich.

odmienną od przytoczonej przeze mnie. Ponieważ zaglądnąłem do kilku źródeł, przytoczyłem wersję zgodną z oryginalną hilbertowską postacią tego aksjomatu oraz z przytoczoną przez K.Borsuka i W.Szmielew. Pojawia się ciekawe pytanie, na które nie umiem sobie w tej chwili odpowiedzieć: czy systemy z wymienionymi aksjomatami AH.III.3' i AH.III.3 są sobie równoważne. Tzn. z naszego systemu kasjomatów (AH.I.1-AH.V.2) względnie łatwo da się wywieść AH.III.3' jako twierdzenie. Dużo trudniejszym ćwiczeniem zdaje się rozstrzygnięcie czy da się wywieść AH.III.3 jako twierdzenie z systemu aksjomatów z (AH.I.1-AH.III.2,AH.III.3',AH.III.4-AH.V.2).

Chciałbym wkrótce napisać coś jeszcze o geometrii i aksjomatach w tym może pobawić się formalizacją. Opisać narodziny mierzenia i układu współrzędnych, podjąć jeszcze pewne kwestie logiczne ich dotyczące. Pokazać alternatywny układ aksjomatów pochądzący od Tarskiego, poprzypominać sobie ze szkoły bogactwo planimetrii i wszystko to zanim jeszcze dojde z czytaniem Penrose'a do geometrii hiperbolicznej...
Uffff...