Aksjomaty Hilberta - light

Penrose w rozdziale drugim wzmiankuje tylko, choć oczywiście w, dla jego celów, wystarczającym zakresie kwestie aksjomatyki geometrii, koncentrując się następnie na geometrii hiperbolicznej. Chciałbym się jednakże trochę bliżej przyjrzeć kwestii aksjomatyki, szczególnie, że studiując bardzo mało miałem okazji z aksjomatycznym podejściem do geometrii się zetknąć.
Szperając, znalazłem bardzo ciekawą, choć dzieło z jakichś przyczyn przerwano, stronę poświęconą oryginalnej aksjomatyce (a właściwie całym "Elementom") Euklidesa. Oto link. Aksjomatyka Euklidesa jest pierwszym ujęciem aksjomatycznym geometrii najbliższej nam intuicją a zarazem pierwszym ujęciem aksjomatycznym teorii matematycznej w ogóle. Euklides wyznaczył standardy ścisłości na tysiące lat, w zasadzie tak właśnie uprawia się matematykę do dziś, choć wymagania formalne wzrosły. Odkrycie innych geometrii, to efekt badań nad samą aksjomatyką właśnie, w szczególności nad tzw. niezależnością aksjomatyki Euklidesa, a zupełnie już konkretnie nad możliwością udowodnienia piątego postulatu Euklidesa przy pomocy pozostałych aksjomatów. Tą historię opisuje zresztą Penorse. Z drugiej strony odpowiednie spojrzenie, w szczególności abstrahowanie od intuicyjnego pojęcia prostej czyni te inne geometrie podobnie intuicyjnymi. To uświadomiła nam między innymi geometria powierzchni.
Np. tzw geometria eliptyczna (wkrótce coś bliżej napiszę) badana była przecież dla celów praktycznych w astronomii od czasów starożytnych jest to bowiem geometria punktów i kół wielkich sfery. Odkrycie w niej tego samego euklidesowego z ducha porządku dającego się zaksjomatyzować wymagało jednak abstrakcji od sfery jako powierzchni zanurzonej w trójwymiarowym euklidesowym świecie i do potraktowania jej jako samoistnego geometrycznego świata.
Postaram się przedstawić kilka podejść do aksjomatyki, w ujęciu trochę nowszym niż oryginalne Euklidesowe i przedyskutować pewne ich aspekty.
Zacznę od wielkiego reformatora spojrzenia na geometrię, widzącego w niej już ściśle formalny system, tj. do aksjomatyki D.Hilberta. Aksjomatyka tu przedstawiona jest modyfikacją aksjomatów geometrii płaskiej przytocznych w "Geometrii poglądowej" Hilberta i Cohn-Vosena. Kusiło mnie, żeby sięgnąć do nieco bardziej sformalizowanej ich postaci z wspaniałej książki Karola Borsuka i Wandy Szmielew "Podstawy geometrii", ale ostatecznie zdecydowałem się na małą redakcję wersji z "G.p". Mamy więc następujące aksjomaty:

I - Aksjomaty przynależności
AH.I.1. Przez dwa punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
AH.I.2. Każda prosta zawiera co najmniej dwa punkty.
AH.I.3 Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na jednej i tej samej prostej.

II - Aksjomaty uporządkowania
AH.II.1 Z trzech punktów prostej jeden i tylko jeden leży na między dwoma pozostałymi.
AH.II.2 Dla dowolnych punktów A i B istnieje jeden co najmniej taki punkt C, że B leży pomiędzy A i C
AH.II.3 Jeżeli pewna prosta przecina bok trójkąta (tzn. zawiera punkt leżący pomiędzy dwoma wierzchołkami), to albo przechodzi przez przeciwległy wierzchołek, albo przecina jeszcze jeden bok.

III-Aksjomaty przystawania
AH.III.1 Odcinek można zawsze odłożyć na prostej od pewnego punktu w obie strony. Otrzymany odcinek nazywa się przystającym do poprzedniego.
AH.III.2 Jeżeli dwa odcinki są przystające do trzeciego, to są wzajemnie przystające.
AH.III.3 Jeżeli na każdym z dwu odcinków znajduje się taki punkt, że jedna z powstałych części pierwszego odcinka jest przystająca do jednej z częsci drugiego odcinka, i druga część pierwszego z odcinków jest przystająca do drugiej częsci drugiego z nich to oba odcinki są przystające.
AH.III.4 Kąt można odłożyć w sposób jednoznaczny przy półprostej po jednej lub po drugiej stronie płaszczyzny. Otrzymany kąt nazywa się przystającym do poprzedniego.
AH.IV.5 Jeżeli dwa trójkąty mają dwa boki i kąt między nimi zawarty jednakowe, to są przystające.

IV-Aksjomat równoległości
AH.IV.1 Przez każdy punkt nie leżący na dowolnej prostej a przechodzi jedna i tylko jedna prosta nie przecinająca a.

V-Aksjomaty ciągłości
AH.V.1 (aksjomat Archimedesa). Każdy odcinek można zmierzyć każdym innym.
AH.V.2 (aksjomat Cantora). Dla każdego nieskończonego ciągu odcinków, z których każdy zawiera się w poprzednim, istnieje punkt wspólny wszystkim tym odcinkom.

Parę uwag o tych aksjomatach. Jest ich istotnie więcej niż aksjomatów (postulatów u Euklidesa). Bierze się to stąd, że Euklides przyjmuje jednak pewnie niejawne założenia i intuicje które upycha w definicjach. W wydaniu hilbertowskim, pojęć pierwotnych jest mało, Hilbert nie mówi nic o ich naturze ponad to co wynika ściśle z aksjomatów. Przyjrzyjmy się tym pojęciom:
1. Punkt jest pojęciem pierwotnym.
2. Prosta jest pojęciem pierwotnym.
3. Relacje "punkt leży na prostej" i "prosta przechodzi przez punkt", "prosta zawiera punkt" zachodzące pomiędzy punktami i prostymi są synonimami i określają w istocie jedną relację zwaną relacją incydencji.
Stwierdzenie to nie budzi raczej wątpliwości czytelnika, aczkolwiek pedant mógłby oponować i miałby rację. Ze sformułowania tu przytoczonego w istocie to nie wynika. Takie są pułapki użycia języka naturalnego w matematyce - niepostrzeżenie wkrada się teorię matematyczną lieratura. Porzdnie napisana aksjomatyka używałaby jedynie symboli eliminując niejednoznaczność. W ramach ćwiczenia (zabawy) można popróbować zapisać te kasjomaty w postaci systemu formalnego, albo pójść na łatwiznę i znaleźć to gotowe w sieci. Z drugiej strony absolutna formalna pedantyczność prowadzi w zasadzie do tekstu ledwie strawnego w czytaniu. Trochę literatury w matematyce, w trosce o czytelnika i ufając jego dobrej woli i zdrowemu rozsądkowi, warto zostawić
4. W drugiej grupie aksjomatów pojawia się kolejne pojęcie pierwotne teorii: relacja trzyczłonowa "leżenie między". Aksjomaty tej grupy opisują jej własności.
5. W grupie trzeciej pojawia się kilka nowych pojęć: "odcinek", "kąt", "płaszczyzna", "trójkąt" i relacja przystawania, spośród nich tylko relacja przystawania jest pojęciem pierwotnym. Odcinek i kąt dają się zdefiniować przy pomocy relacji "leżenia między" dla punktów. Pojawiają sie tu jednak pewne subtelności wynikające z języka jaki przyjęliśmy. Intuicja podpowiada nam, że odcinek i kąt to pewne figury, które np. możemy narysować na płaszczyźnie. Pojęcia figury ani zbioru nie ma jednak w naszym języku. Możemy postąpić dwojako. Można zinterpretować nasze pojęcia pierwotne w teorii która pojęcie zbiór zawiera (więc np. w teorii zbiorów właśnie) i posłużyć się aparatem metateorii. Można też postapić inaczej i zdefiniować kolejne relacje i predykaty oddające nie tyle samo pojęcie odcinka, to bowiem pewnie będzie nieosiągalne, ale ważne do wypowiedzenia twierdzeń relacje np. relację incydencji punktu z odcinkiem, prostej z odcinkiem, potem punktu i prostej z katem itd. I tak incydencja punktu A z odcinkiem BC oznacza tyle, że punkt A jest w relacji "leżenia między" końcami odcinka czyli B i C. Nie potrzeba nam więc własciwie słowa odcinek. Relacja incydencji prostej a z odcinkiem BC zachodzi wtedy, jeżeli istnieje punkt X taki, że X jest w relacji incydencji z odcinekiem BC (dopiero co zdefiniowaliśmy co to znaczy) i jednoczśnie X jest w relacji incydencji z a (pojęcie pierwotne) itd.
6. Z pośród pojęć nowych w aksjomatach grupy III, które wymieniłem w punkcie poprzednim pojęcie "płaszczyzna" nie definiuje się w terminach poprzednich pojęć ale oczywiście powinno zostać wyleliminowane. W języku ściśle formalnym tak właśnie by było, pojecia tego bowiem nie trzeba tam używać. Wszystko co mamy na myśli mówiąc płaszczyzna ukrywa się w stosownym użyciu kwantyfiaktorów. Otóż gdybyśmy porządnie zdefiniowali kąt wystarczyłoby powiedzieć, że są dokładnie dwa różne możliwe sposoby odłożenia kątą przystającego do danego przy półprostej. Co ciekawe, Wydaje się, że w aksjomatach AH.IV.5 i AH.I.3 kryje się istota pojęcia wymiaru - ważnego i skomplikowanego jak się okaże.
7. Aksjomaty AH.V.1 i AH.5.2 dopełniają definicję geometrii o istotne własności metryczne i topologiczne. Omówię je wkrótce osobno.

Przy okazji pisania tego postu przeglądając "Geometrię przeglądową" zorientowałem się, że podany tam aksjomat AH.III.3 ma postać:
AH.III.3' Jeżeli na każdym z dwu przystających odcinków znajduje się taki punkt, że jedna z powstałych części pierwszego odcinka jest przystająca do jednej z częsci drugiego odcinka, to druga część pierwszego z odcinków jest przystająca do drugiej częsci drugiego z nich.

odmienną od przytoczonej przeze mnie. Ponieważ zaglądnąłem do kilku źródeł, przytoczyłem wersję zgodną z oryginalną hilbertowską postacią tego aksjomatu oraz z przytoczoną przez K.Borsuka i W.Szmielew. Pojawia się ciekawe pytanie, na które nie umiem sobie w tej chwili odpowiedzieć: czy systemy z wymienionymi aksjomatami AH.III.3' i AH.III.3 są sobie równoważne. Tzn. z naszego systemu kasjomatów (AH.I.1-AH.V.2) względnie łatwo da się wywieść AH.III.3' jako twierdzenie. Dużo trudniejszym ćwiczeniem zdaje się rozstrzygnięcie czy da się wywieść AH.III.3 jako twierdzenie z systemu aksjomatów z (AH.I.1-AH.III.2,AH.III.3',AH.III.4-AH.V.2).

Chciałbym wkrótce napisać coś jeszcze o geometrii i aksjomatach w tym może pobawić się formalizacją. Opisać narodziny mierzenia i układu współrzędnych, podjąć jeszcze pewne kwestie logiczne ich dotyczące. Pokazać alternatywny układ aksjomatów pochądzący od Tarskiego, poprzypominać sobie ze szkoły bogactwo planimetrii i wszystko to zanim jeszcze dojde z czytaniem Penrose'a do geometrii hiperbolicznej...
Uffff...