Drążąc fundamenty: mała wycieczka metamatematyczna.

Po długiej przerwie (mam nadzieję, że podobna się już nie powtórzy) wracam jeszcze - na razie bardziej metamatematycznie niż geometrycznie - do tematyki aksjomatów w ogóle a aksjomatów Hilberta w szególności.
Nie bawiąc się, przynajmniej na razie, w formalne definicje modelu danej teorii, chciałbym się mimo wszystko posłużyć tym pojęciem - kluczowym w dociekaniach logicznych i metamatematycznych, do których zaliczają się badania aksjomatyk.
W ostatnim wpisie podałem aksjomatyzację geometrii płaskiej bliską temu co podał Hilbert. Aksjomaty, to system pewnych zdań, a więc aby móc je sformułować potrzebujemy języka. Posługując się tym samym językiem możemy wypowiadać inne zdania i jeżeli posługując się poprawnym logicznie wnioskowaniem jesteśmy w stanie udowodnić je tj. wywieść przy założeniu że aksjomaty są prawdziwe, zdania owe nazywamy twierdzeniami. Obracamy się ciągle w świecie języka jednakże. Pytanie jakie się rodzi brzmi - o czym nam te zdania mówią, o czym mówią twierdzenia ?

Aby to określić potrzebujemy jakiejś rzeczywistości w której jesteśmy w stanie wyróżnić byty odpowiadające pojęciom języka. Jeżeli teraz wszystkie twierdzenia są prawdziwe w owej rzeczywistości (czyli po prostu w niej zachodzą) to ową rzeczywistość określamy mianem modelu danej teorii. Sposób w jaki tłumaczymy pojećia pierwotne teorii na obiekty modelu w zasadzie zależy od konstrukcji modelu. Natomiast co to znaczy, że zachodzi bardziej skomplikowane zdanie zapisane przy użyciu pojęć pierwotnych, spójników logicznych i kwantyfikatorów zależy od konstrukcji modelu sposobu w przy tłumaczeniu terminów pierwotnych i niezależnych od modelu reguł tłumaczenia spójników i kwantyfikatorów.
Brzmi to trochę skomplikowanie, ale chcę uniknąć wyprowadzania całego formalnego aparatu teorii modeli (jest masa podręczników do logiki matematycznej, w których jest to naprawdę świetnie zrobione) a równocześnie uczynić wpisy na blogu w miarę samowystarczalnymi.

OK. Żeby teraz rozjaśnić nieco to co powiedziałem przyjrzyjmy się owej zabawie w działaniu. Przypomne trzy pierwsze aksjomaty Hilberta z ostatniego postu:

AH.I.1. Przez dwa punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
AH.I.2. Każda prosta zawiera co najmniej dwa punkty.
AH.I.3 Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na jednej i tej samej prostej.

Teraz zbuduję model dla tych trzech aksjomatów. Punktami będą literki "A", "B", i "C", prostymi ciągi zbudowane z tych literek, przechodzenie punktu przez prostą oznaczać będzie, że literka znajduje się w napisie oznaczającym prostą. Oto proste:
"AB", "BC", "AC"

Szybki rzut oka i można stwierdzić, że przy takiej interpretacji aksomaty naszej mini-geometrii są spełnione.
Własność układu aksjomatów polegającą na tym, że nie da się udowodnić na ich podstawie dwóch zdań sprzecznych nazywamy niesprzecznością (konsystentnością).
Okazuje się, jak udowodnił Kurt Godel, dla teorii pierwszego rzędu jest ona równoważna, temu, że teoria posiada model. Pokazując model naszej mini-geometrii pokazaliśmy więc jej niesprzeczność.

Weźmy teraz inny model M2. Jest zbudowany jak poprzednio, (punkty to literki, proste to napisy i leżenie na to występowanie literki w napisie), tyle tylko, że tak punktów jak i prostych ma więcej.
Punkty: "A", "B", "C", "D", proste: "AB", "BC", "AC", "AD", "BD", "CD"
Ponownie, szybkie spojrzenie pozwala nam stwierdzić, że aksjomaty są w tym świecie literek i napisów spełnione.

Jak widać oba światy, M1 i M2, mimo, że spełnione są w nich te same aksjomaty różnią się od siebie dość istotnie: ilością punktów i prostych. To typowa sytuacja - teoria często ma więcej niż jeden model. Aksjomatycznie wprowadzane teorie algebraiczne, np. grup, pierścieni, ciał opisują podobnie jak nasza mini-geometria wiele możliwych struktur. Czasem jednak - a tak jest na przykład wtedy, gdy jak Euklides a potem Hilbert chcemy aksjomatyzować twór intuicyjnie nam znany i jedyny tj. płaszczyznę - potrzebujemy od układu aksjomatów własności tzw. kategoryczności. Teoria kategoryczna to taka, że każdy model jej aksjomatów jest w istocie tak samo zbudowany, wszystkie elementy, relacje, funkcje jednego, dają sie przełożyć na drugi. Matematycy mówią, że owe modele są izomorficzne.

Podam teraz pewne twierdzenie naszej mini-geometrii:

Twierdzenie:
Każde dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.

Dowód jest oczywiście łatwiuteńki: jeżeli byłoby inaczej mielibyśmy dwie proste, które mają dwa różne punkty wspólne a to jest sprzeczne z AH.I.1, bowiem przez dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta.

Pokazałem twierdzenie, które nie myśląc o żadnym konretnym, modelu wywiodłem jedynie z aksjomatów. Ale oczywiście łatwo jest sprawdzić, że tak w naszym modelu M1 jak i M2 owo twierdzenie zachodzi, chociaż apriori mogłoby tak nie być. Okazuje się, że reguły rządzące tłumaczeniem zdań języka na własności modelu aksjomatów gwarantują, że jeżeli dane zdanie uda nam sie z aksjomatów i aksjomaty mająjakiś model to własność którą owo zdanie opisuje będzie spełniona w każdym modelu.
Oczywiście w poszczególnych modelach mogą być spełnione zdania które nie są spełnione w innym. na przykład w naszym modelu M2 zachodzi:

Zdanie 1:
Dla każdej prostej istnieją co najmniej dwa punkty nie leżące na niej.

To zdanie nie jest jednak prawdziwe w modelu M1.

W świetle tego co powiedziałem o bezwzględnym spełnianiu w każdym modelu zdań które da się wywieść z aksjomatów, pokazałem konstruując M1 i M2, że Zdanie 1, operujące tymi samy mi pojęciami co aksjomaty (więc wyrażone w tym samym języku) nie da się z aksjomatów wyprowadzić. Mówimy w metamatematyce, że jest od nich niezależne.
Takie rozumowanie kryje się właśnie za dowodem niezależności piątego postulatu Euklidesa od pozostałych. Geometria Euklidesowa daje nam model, w którym jest on spełniony, geometria hiperboliczna taki, w którym spełniony nie jest a właściwie spełnione jest jego zaprzeczenie). Jest więc niezależny od kasjomatów pozostałych.

Naturalne jest pytanie odwrotne: czy jeżeli każdy model układu aksjomatów posiada taką samą własność, to zdanie ową własność opisujące da się wywieść z aksjomatów. Okazuje się, że dla dużej i ważnej klasy teorii, tzw. teorii pierwszego rzędu jest to prawdą. Tą własność teorii pierwszego rzędu nazywamy pełnością.

To tyle na razie rozważań metamatematycznych. Po szczegóły warto sięgnąć do regularnych podręczników. Ja natomiast wkrótce powrócę do geometrii.