Topologia bardzo ogólna (I)

Ten temat musi powracać, bo to jeden z wielkich lejtmotywów matematyki współczesnej. Będzie powracał ciągle a skoro ma powracać to trzeba go kiedyś zacząć. Zacznę go więc teraz bo chciałbym w bardzo niedalekiej przyszłości o pewnych aspektach geometrii od tej strony napisać. W istocie potrzebować będę na razie podstawowych definicji, trochę terminologii i paru elementarnych pojęć i twierdzeń i na tym na razie poprzestanę. Trochę w ramach powtórki, by ustalić notację i uściślić rozumienie pojęć, tym razem postanowiłem nie posiłkować się Wikipedią, tylko przygotować krótki przegląd samemu.

Topologia to pewna struktura na zbiorze. Historycznie pojęcie topologii poprzedzone jest ważnym, naturalnym i bardzo intuicyjnym pojęciem tzw. metryki i przestrzeni metrycznej. Metryka pozwala zdefiniować pewną szczególną, wyróżnioną topologię na przestrzeni metrycznej. Ja jednak, idąc szlakiem logicznym - od pojęć bardziej ogólnych ku bardziej złożonym - a nie historycznym i opierając się pokusie dydaktyzmu (to przecież nie wykład tylko mniej lub bardziej luźne myśli) pozwolę sobie zacząć od abstrakyjnego pojęcia.
Ach, jeszcze jedna uwaga, której zgodnie z utartym w piśmiennictwie zwyczajem nie może przy okazji mówienia o topologii zabraknąć: w pojęciu topologii wysublimowana została geometryczna intuicja dotycząca takich pojęć jak "blisko", "daleko", "ciągłość", "skupianie się w przestrzeni", deformacja itp. Więcej na ten temat kiedy zabrniemy dalej.

Uwaga 1: Mała - dotycząca symboli:"∐" oznacza tu sumę rodziny zbiorów. Innymi słowy jest to zbiór zdefiniowany następująco x∈∐S ⇔∃y(y∈s ∧ x∈y).
Używając tej notacji można zapisać znaną ze szkoły sumę zbiorów oznaczaną symbolem "∪" można zapiusac jako: A∪B=∐{A,B}.
Podobnie z symbolem "∏" w tym kontekście oznaczamy przcięcie rodziny zbiorów: x∈∏S ⇔∀y(y∈S ⇒ x∈y). Mamy też oczywiście A∩B=∏{A,B}
Co do innych oznaczeń jakie będę stosował, to liczność (moc, ilość elementów) zbioru q będę oznaczął jako #q. Liczby naturalne oznaczał będę przez N. W szczególności, w przyjętej notacji #q∈N oznacza, że q jest zbiorem skończonym.
Zmienne oznaczał będę małymi i dużymi literami. Starałem się wprowadzić pewne heurystyczne zasady co do użycia małych i dużych liter ułatwiające rozumienie formuł. Powinny one stać się jasne w trakcie lektury, nie będę ich tu więc explicite wypowiadał. Posługuję się jednak w formułach językiem jednosortowym, więc jest to jedynie ukłon w stronę typografii nie mający znaczenia dla samej ich treści.

Definicja 1:
Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X,T), gdzie X jest niepustym zbiorem a T jest rodziną podzbiorów zbioru X, taką, że spełnione są następujące aksjomaty:
1. X∈T
2. ∅∈T
3. ∀S (S⊆T ⇒ ∐S∈T)
4. ∀x,y ((x∈T ∧ y∈T) ⇒ x∩y∈T)



Uwaga 2: Terminologia: Dla danej przestrzeni topologicznej (X,T) rodzinę T nazywamy topologią na zbiorze X sam zaś zbiór X zbiorem podkładowym przestrzeni topologicznej. Elementy rodziny T nazywamy zbiorami otwartymi. Dopełnienia elementów rodziny T (a więc zbiory postaci X-y gdzie y∈T) nazywamy zbiorami domkniętymi. Jak widać chociażby po zbiorach X i ∅ wchodzących w skład każdej topologii na X, rodzina zbiorów otwartych i domkniętych w danej topologii nie musi być rozłączna.

Czasem na oznaczenie topologii przestrzeni (X,T) używa się określenia top((X,T)) , czyli jest po prostu top((X,T))=T, na określenie zaś wszystkich zbiorów domkniętych cotop((X,T)). Mamy oczywiste: x∈top((X,T))⇔(X-x)∈cotop((X,T)). W przypadku, kiedy nie budzi to wątpliwości bo np. w kółko mowimy o jakiejś konkretnej przestrzeni bądź jednoznacznie dającej się wyznaczyć topologii, czasem opuszcza się pedantyczne pisanie top((X, T)) i pisze po prostu top(X) lub cotop(X)

Uwaga 3: Poza trywialnymi przypadkami zbiorów X będących singletonami (czyli zbiorami jednoelementowymi), na zbiorze można wprowadzić wiele topologii, czyli, innymi słowy, jest zwykle wiele różnych przestrzeni topologicznych o takim samym zbiorze podkładowym. Pomiędzy topologiami na tym samym zbiorze można wprowadzić relację "bycia silniejszą" (oznaczę ją przez zwykły znak "<") w ten oto sposób: Dla dwóch przestrzeni topologicznych (X, T1) i (X,T2) o tym samym zbiorze podkładowym mówimy, że topologia T2 jest silniejsza od T1 gdy T1 jest zawarta w T2 (T1⇔ T1⊊T2). W takiej sytuacji mówimy odpowiednio o T1 jako o słabszej od T2. Ogólnie, dwie topologie nie muszą być ze sobą porównywalne, relacja "bycia silniejszą" porządkuje zbiór topologii jedynie częściowo. Natomiast na każdym zbiorze mamy topologię najsilniejszą i najsłabszą, które porównywalne są z wszystkimi innymi topologiami. Topologia najsłabsza to tzw topologia trywialna dla której T={X,∅}, najsilniejsza zaś to tzw. topologia dyskretna dla której T=P(X)={w:w⊆X}. W pierwszej mamy jedynie dwa zbiory otwarte, w drugiej wszystkie podzbiory X są zbiorami otwartymi.

Uwaga 4. Topologie na danym zbiorze X nie są koniecznie porównywalne. Jest prostym ćwiczeniem na zastosowanie definicji i znajomość rachunku zbiorów: jeżeli (X,T1) i (X,T2) są przestrzeniami topologicznymi to jest nią też (X,T1∩T2).

Uwaga 5. Jest kilka niemal natychmiastowych twierdzeń dotyczących zbiorów domkniętych w danej topologii dowodzonych wprost z aksjomatów. Nie ubliżając mam nadzieję niczyjej inteligencji, przytoczę najoczywistsze, skrótowo i bez dowodu:

Twierdzenie 1
Jeżeli (X,T) jest przestrzenią topologiczną to:
1. Suma skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
2. Przecięcie dowolnej rodziny zbiorów domnkniętych jest zbiorem domkniętym

Na zbiorze podzbiorów zbioru podkładowego przestrzeni (X,T) , oznaczanym przez P(X) można zdefiniować interesujące i ważne operatory:

int: P(X) ∋ s->∐{t:t∈top((X,T)) ∧ t⊆s} ∈ top((X,T))
cl: P(X) ∋ s->∏{t:t∈cotop((X,T)) ∧ s⊆t} ∈ cotop((X,T))

(dla wygody, czasem mówimy, że są one zdefiniowane na podzbiorach przestrzeni (X,T) co nie jest oczywiście precyzyjne)
Tłumaczenie na ludzki język jest takie: int zwany też operatorem wnętrza przypisuje danemu pozdzbiorowi s zbioru X największy w sensie relacji "zawierania się" otwarty zbiór zawarty w s. cl czyli operator domknięcia przypisuje danemu podzbiorowi s zbioru X najmniejszy w sensie relacji zawierania się domknięty podzbiór X.

Ponownie kilka pojęć:
Przy ustalonej przestrzeni topologicznej (X,T) zbiór s⊆X nazywamy:
- brzegowym , jeżeli int(s)=∅
- gęstym, jeżeli cl(s)=X
- nigdziegęstym, jeżeli int(cl(s))=∅

Jeżeli mamy dwie przestrzenie topologiczne (niekoniecznie różne): (X,T) i (Y,S) funkcję f:X->Y nazywamy ciągłą, jeżeli ∀w(w∈S ⇒ f^-1(w)∈T)
Inną równoważną (dowód łatwy) definicją częściej spotykaną w praktyce i bardziej "zgodną" z definicją ciągłości znaną z analizy jest następująca:
Funkcję f:X->Y nazywamy ciągłą, jeżeli ∀x∀w ((x∈X ∧ w∈S ∧ f(x)∈w) ⇒ ∃v (v∈T ∧ x∈v ∧ f(v)⊆w))

Często wprowadza się topologię na danym zbiorze przez tzw. bazę otoczeń. Robi się to w sposób następujący:
Mamy zbiór X. Zbiór B⊆P(X) nazywamy bazą, jeżeli:
1) ∀x(x∈X ⇒ ∃b(b∈B ∧ x∈b))
2) ∀x∀b∀c(( b∈B ∧ c∈B x∈b∩c)⇒ ∃d(x∈d ∧ d∈B ∧ d⊆b∩c))
Najsłabszą topologię T na X zawierająca wszystkie zbiory z bazy B nazywamy topologią generowaną przez bazę B a zbiór B bazą tej topologii. Można stosunkowo łatwo pokazać, że dla danej bazy B topologia ta jest scharakteryzowana następująco T={v:∃S(S⊆B ∧ v=∐S)}. Innymi słowy zbiory otwarte są sumami dowolnej rodziny podzbiorów bazy.

W taki sposób wprowadza się m.in. naturalną topologię na R (zbiorze liczb rzeczywistych), biorąc jako bazę rodzinę odcinków otwartych postaci (p,q)={x:p≨x≨q} dla p, q rzeczywistych. Małe żonglowanie nierównościami pozwala łatwo sprawdzić, że mamy do czynienia z bazą.

Jeżeli (X,T) jest przestrzenią topologiczną, to przestrzeń topologiczną (Y,S) nazywamy jej podprzestrzenią jeżeli Y⊆X i S={v:∃w(w∈T ∧ v=Y∩w)}. Łatwo widzieć, że podzbiór Y zbioru X przy ustalonej przestrzeni (X,T) wyznacza jednoznacznie przestrzeń (Y,S) gdzie S jest zdefiniowane j.w. Trzeba tylko sprawdzić, że S jest zawsze w takim przypadku topologią.


Ze względu na to jak dobrze można wyróżnić czy oddzielić pewne zbiory przy pomocy zbiorów otwartych wprowadza się ważną klasyfikację topologii. Opiera się ona na tzw. postulatach, czy, jak się często pisze, aksjomatach odzielania. Oto one.

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T1-przestrzenią jeżeli:
∀x ∀y ((x∈X ∧ y∈X ∧ x≠y) ⇒ ∃v(v∈T ∧ x∈v ∧ y∉v))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T2-przestrzenią (przestrzenią Hausdorffa) jeżeli:
∀x ∀y ((x∈X ∧ y∈X ∧ x≠y) ⇒ ∃v ∃w (v∈T ∧ w∈T ∧ x∈v ∧ y∈w ∧ v∩w=∅))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T3-przestrzenią (przestrzenią regularną) jeżeli:
(X,T) jest T1-przestrzenią i ∀x∀k ((x∈X ∧ k∈cotop((X,T)) ∧ x∉k) ⇒ ∃v∃w (v∈T ∧ w∈T ∧ x∈w ∧ k⊆w ∧ v∩w=∅ ))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T3½-przestrzenia (przestrzenią całkowicie regularną) jeżeli:
(X,T) jest T1-przestrzenią i ∀x∀k((x∈X ∧ k∈cotop((X,T)) ∧ x ∉k) ⇒ ∃f( f-funkcja ciągła z przestrzeni (X.T) do R z naturalną topologią taka, że f(X)⊆[0,1] i f(x)=0 i f(k)={1}))

- Przestrzeń (X,T) nazywamy T4 przestrzenią (przestrzenią normalną) jeżeli:
(X,T) jest T1-przestrzenia i ∀k∀j((k∈cotop((X,T)) ∧ j∈cotop((X,T)) ∧ k∩j=∅)⇒∃v∃w (v∈T ∧ w∈T ∧ k⊆v ∧ j⊆w ∧ v∩w=∅))

Definiuje się czasem, choć rzadko zakłada się aż tak mocne własności ogólnej przestrzenie topologicznej w praktyce, jeszcze przestrzenie T5 i T6, tj. przestrzenie dziedzicznie normalne i doskonale normalne. Pierwsze są T4-przestrzeniami, które mają dodatkową własność, że każda jej podprzestrzeń jest przestrzenią normalną. Drugie to takie T4-przestrzenie, że każdy zbiór domknięty we nich jest częścią wspólną przeliczalnej ilości zbiorów otwartych.

Na zupełny już koniec klasyczne i bardzo ważne definicje:

Przestrzeń topologiczną (X,T) nazywamy zwartą, jeżeli jest T2-przestrzenią i
∀P((P⊆T ∧ X=∐P)⇒∃n∃Q(#Q∈N ∧ Q⊆P ∧ X=∐Q)).
Ludzkim językiem: jest przestrzenią Hausdorffa i z każdego pokrycia otwartego da się wybrać podpokrycie skończone.

Przestrzeń topologiczną (X,T) nazywamy spójną, jeżeli
∀v,w((v∈T ∧ w∈T ∧ v∪w=X) ⇒ (v∩w≠∅))