Sensacje geometryczno-historyczne.

Przynajmniej dla mnie.
Otóż, kiedy przyjrzeć się pierwszym postulatom Euklidesa, to brzmią one dziś - szczególnie w kontekście abstrakcyjnego ujęcia Hilberta - nieco archaicznie. Hilbert nie czuje już potrzeby, którą zdaje się widzięć Euklides i nie wyjaśniania czym jest punkt, prosta itd. a jedynie wypowiada zdania instruujące nas co jest prawdą o punktach, prostych, odcinkach, kątach nie wdając się w ich naturę Powtarzam to do znudzenia. Okazuje się jednak, że z tą archaicznością Euklidesa to nie jest do końca tak. Dzieło Euklidesa w dowodach nie odwołuje się do intuicji wyrażonych w tych "dziwnych" definicjach (jak np takiej: "Prosta to długość bez rozciągłości"), ale buduje geometrię ściśle i operając się na założonych własnościach punktów, prostych i odpowiednich relacjach, nie powołując się żadną dodatkową informację dokładnie tak jak u Hilberta. Zatem można by w zasadzie wyrzucić owe "dziwne" definicje bez szkody dla logicznej struktury teorii. Skąd więc owe mistyczne niby-to-definicje ? Otóż, z doskonałej książki Lucio Russo "Zapomniana rewolucja", dowiedziałem się o hipotezie, że to po prostu komentarze do Euklidesa, wyjaśniające jak "przyłożyć" abstrakcyjną geometrię do rzeczywistego świata. Komentarze, oddające intuicje stojące za takim a nie innym wyborem pojęć pierwotnych i jak należy je sobie wyobrażać. Nie pochodziłyby one w skład kanonicznego tekstu, ale funkcjonowały przez lata jako osobne komentarze, prawdopodobnie znacznie późniejsze niż sam tekst, następnie przez jakiegoś kopistę - kompilatora dołączone trwale do tekstu który stanowił bazę dla kopii które dotarły do czasów późniejszych. Mówię tu o tekście kanonicznym świadomie nie nazywając go oryginalnym tekstem Euklidesa, bowiem dość prawdopodobne jest, że i on jest kompilacją. W szczególności V księgę poświęconą teorii proporcji, którą wielu uważa za pierwsze poprawne przedstawienie teorii liczb rzeczywistych przypisuje się innemu matematykowi greckiemu - Eudoksosowi. Do kwestii V księgi warto będzie jeszcze wrócić.
Mimo, pewnego dysonansu, który wprowadzają owe wyjaśnienia, ich wprowadzenie jest dla mnie zrozumiałe. Aksjomaty nie wiszą w próżni. Ujmują w ściśły dedukcyjny system intuicje. Są interpretacją rzeczywistości. Ich tworzenie wymaga świadomego wyboru pojęć i abstrakcji. Dziś, w epoce wielkich bibliotek, masowych i względnie tanich wydawnictw, fantastycznych osiągnięć edytorskich, przemysłu edukacyjno-naukowego w którym każde dzieło obrasta łatwo dostępnymi komentarzami, przypisami, książkami popularyzującymi itd. być może ciężko jest zrozumieć, że ktoś ośmielił się zaingerować w mistrzowski tekst dodając do niego przypisy na prawach jego części. Żeby zakończyć tą dygresję historyczną przytaczając motto które David Hilbert umieścił na wstępie swoich "Podstaw geometrii" - cytat z "Krytyki czystego rozumu" Immanuela Kanta: "Cała wiedza ludzka zaczyna się od intuicji, przechodząc później do fazy pojęć a kończąc na ideach". Prawdopodobnie, pewien wpływowy kopista Euklidesa uznał, że nie wspominając o intuicjach a na pojęciach i ideach poprzestając dzieło pozostanie niezrozumiałe.

Druga z sensacji to oryginalna forma aksjomatów Hilberta (ja podałem ich wariant w trochę zmodyfikowanym ujęciu K.Borsuka i W.Szmielew). Otóż w "Grundlagen" Hilbert do pięciu grup aksjomatów (podobnych do tych jakie przytoczyłem) zakończonych aksjomatem Archimedesa (ale bez naszego aksjomatu AH.V.2), dodaje aksjomat "Pełności". W moim tłumaczeniu z (dostępnego tu) angielskiego tłumaczenia E. J. Townsend'a niemieckiego oryginału, brzmi on tak:

Nie jest możliwym dodanie do systemu punktów, linii prostych i płaszczyzn dodatkowych elementów w taki sposób, że system tak uogólniony będzie nową geometrią spełniającą wszystkie pięć grup aksjomatów. innymi słowy, elementy geometrii tworzą system niepodatny na rozszerzenia o ile uznamy, że są w nim spełnione wymienione pięć grup aksjomatów.

Uwaga pierwsza - dla pewnego, nieznaczącego, uproszczenia podałem aksjomatykę geometrii planarnej, oryginalny system tak Hilberta jak i Borsuka-Szmielew zawierał dodatkowe pojecie pierwotne , płaszczyzny. Kontynuując to uproszczenie, proponuję na moment zapomnieć o słowie "płaszczyzna" w powyższym aksjomacie.
Uwaga druga - mówiąc językiem z poprzedniego postu Hilbert po prostu postuluje kategoryczność systemu aksjomatów, dodaje więc aksjomat metamatematyczny. Bardzo dziwne, szokujące wręcz.
Oczywiście system proponowany przez Borsuka i Szmielew takiego aksjomatu nie zawiera, natomiast w jego miejsce zawiera aksjomat Cantora. Natomiast kategoryczności systemu dowodzi się, a nie ją postuluje. Aksjomat Cantora ma też nieco inny charakter, niż pozostałe aksomaty. Diabeł tkwi w szczególe. Otóż kwantyfikuje się w nim po wszystkich zbiorach odcinków spełniających pewną własność. Teorie w których kwantyfikacja przebiega po wszystkich możliwych zbiorach bądź relacjach, są teoriami tzw. drugiego rzędu. Tak więc kategoryczność uzyskuje się za pewną cenę: logicznego skomplikowania teorii. Wrócę jeszcze w którymś z następnych postów do tego interesującego i ważnego zagadnienia.
Skoro mam tłumaczenie pracy Hilberta, postaram się je odrobinę przestudiować i jeżeli (a z pobieżnej lektury wynika, że tak będzie) natrafię na inne interesujące zagadnienia z tym związane, również nie omieszkam poruszyć ich na blogu.