Penrose w rozdziale drugim wzmiankuje tylko, choć oczywiście w, dla jego celów, wystarczającym zakresie kwestie aksjomatyki geometrii, koncentrując się następnie na geometrii hiperbolicznej. Chciałbym się jednakże trochę bliżej przyjrzeć kwestii aksjomatyki, szczególnie, że studiując bardzo mało miałem okazji z aksjomatycznym podejściem do geometrii się zetknąć.
Szperając, znalazłem bardzo ciekawą, choć dzieło z jakichś przyczyn przerwano, stronę poświęconą oryginalnej aksjomatyce (a właściwie całym "Elementom") Euklidesa. Oto link. Aksjomatyka Euklidesa jest pierwszym ujęciem aksjomatycznym geometrii najbliższej nam intuicją a zarazem pierwszym ujęciem aksjomatycznym teorii matematycznej w ogóle. Euklides wyznaczył standardy ścisłości na tysiące lat, w zasadzie tak właśnie uprawia się matematykę do dziś, choć wymagania formalne wzrosły. Odkrycie innych geometrii, to efekt badań nad samą aksjomatyką właśnie, w szczególności nad tzw. niezależnością aksjomatyki Euklidesa, a zupełnie już konkretnie nad możliwością udowodnienia piątego postulatu Euklidesa przy pomocy pozostałych aksjomatów. Tą historię opisuje zresztą Penorse. Z drugiej strony odpowiednie spojrzenie, w szczególności abstrahowanie od intuicyjnego pojęcia prostej czyni te inne geometrie podobnie intuicyjnymi. To uświadomiła nam między innymi geometria powierzchni.
Np. tzw geometria eliptyczna (wkrótce coś bliżej napiszę) badana była przecież dla celów praktycznych w astronomii od czasów starożytnych jest to bowiem geometria punktów i kół wielkich sfery. Odkrycie w niej tego samego euklidesowego z ducha porządku dającego się zaksjomatyzować wymagało jednak abstrakcji od sfery jako powierzchni zanurzonej w trójwymiarowym euklidesowym świecie i do potraktowania jej jako samoistnego geometrycznego świata.
Postaram się przedstawić kilka podejść do aksjomatyki, w ujęciu trochę nowszym niż oryginalne Euklidesowe i przedyskutować pewne ich aspekty.
Zacznę od wielkiego reformatora spojrzenia na geometrię, widzącego w niej już ściśle formalny system, tj. do aksjomatyki D.Hilberta. Aksjomatyka tu przedstawiona jest modyfikacją aksjomatów geometrii płaskiej przytocznych w "Geometrii poglądowej" Hilberta i Cohn-Vosena. Kusiło mnie, żeby sięgnąć do nieco bardziej sformalizowanej ich postaci z wspaniałej książki Karola Borsuka i Wandy Szmielew "Podstawy geometrii", ale ostatecznie zdecydowałem się na małą redakcję wersji z "G.p". Mamy więc następujące aksjomaty:
I - Aksjomaty przynależności
AH.I.1. Przez dwa punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
AH.I.2. Każda prosta zawiera co najmniej dwa punkty.
AH.I.3 Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na jednej i tej samej prostej.
II - Aksjomaty uporządkowania
AH.II.1 Z trzech punktów prostej jeden i tylko jeden leży na między dwoma pozostałymi.
AH.II.2 Dla dowolnych punktów A i B istnieje jeden co najmniej taki punkt C, że B leży pomiędzy A i C
AH.II.3 Jeżeli pewna prosta przecina bok trójkąta (tzn. zawiera punkt leżący pomiędzy dwoma wierzchołkami), to albo przechodzi przez przeciwległy wierzchołek, albo przecina jeszcze jeden bok.
III-Aksjomaty przystawania
AH.III.1 Odcinek można zawsze odłożyć na prostej od pewnego punktu w obie strony. Otrzymany odcinek nazywa się przystającym do poprzedniego.
AH.III.2 Jeżeli dwa odcinki są przystające do trzeciego, to są wzajemnie przystające.
AH.III.3 Jeżeli na każdym z dwu odcinków znajduje się taki punkt, że jedna z powstałych części pierwszego odcinka jest przystająca do jednej z częsci drugiego odcinka, i druga część pierwszego z odcinków jest przystająca do drugiej częsci drugiego z nich to oba odcinki są przystające.
AH.III.4 Kąt można odłożyć w sposób jednoznaczny przy półprostej po jednej lub po drugiej stronie płaszczyzny. Otrzymany kąt nazywa się przystającym do poprzedniego.
AH.IV.5 Jeżeli dwa trójkąty mają dwa boki i kąt między nimi zawarty jednakowe, to są przystające.
IV-Aksjomat równoległości
AH.IV.1 Przez każdy punkt nie leżący na dowolnej prostej a przechodzi jedna i tylko jedna prosta nie przecinająca a.
V-Aksjomaty ciągłości
AH.V.1 (aksjomat Archimedesa). Każdy odcinek można zmierzyć każdym innym.
AH.V.2 (aksjomat Cantora). Dla każdego nieskończonego ciągu odcinków, z których każdy zawiera się w poprzednim, istnieje punkt wspólny wszystkim tym odcinkom.
Parę uwag o tych aksjomatach. Jest ich istotnie więcej niż aksjomatów (postulatów u Euklidesa). Bierze się to stąd, że Euklides przyjmuje jednak pewnie niejawne założenia i intuicje które upycha w definicjach. W wydaniu hilbertowskim, pojęć pierwotnych jest mało, Hilbert nie mówi nic o ich naturze ponad to co wynika ściśle z aksjomatów. Przyjrzyjmy się tym pojęciom:
1. Punkt jest pojęciem pierwotnym.
2. Prosta jest pojęciem pierwotnym.
3. Relacje "punkt leży na prostej" i "prosta przechodzi przez punkt", "prosta zawiera punkt" zachodzące pomiędzy punktami i prostymi są synonimami i określają w istocie jedną relację zwaną relacją incydencji.
Stwierdzenie to nie budzi raczej wątpliwości czytelnika, aczkolwiek pedant mógłby oponować i miałby rację. Ze sformułowania tu przytoczonego w istocie to nie wynika. Takie są pułapki użycia języka naturalnego w matematyce - niepostrzeżenie wkrada się teorię matematyczną lieratura. Porzdnie napisana aksjomatyka używałaby jedynie symboli eliminując niejednoznaczność. W ramach ćwiczenia (zabawy) można popróbować zapisać te kasjomaty w postaci systemu formalnego, albo pójść na łatwiznę i znaleźć to gotowe w sieci. Z drugiej strony absolutna formalna pedantyczność prowadzi w zasadzie do tekstu ledwie strawnego w czytaniu. Trochę literatury w matematyce, w trosce o czytelnika i ufając jego dobrej woli i zdrowemu rozsądkowi, warto zostawić
4. W drugiej grupie aksjomatów pojawia się kolejne pojęcie pierwotne teorii: relacja trzyczłonowa "leżenie między". Aksjomaty tej grupy opisują jej własności.
5. W grupie trzeciej pojawia się kilka nowych pojęć: "odcinek", "kąt", "płaszczyzna", "trójkąt" i relacja przystawania, spośród nich tylko relacja przystawania jest pojęciem pierwotnym. Odcinek i kąt dają się zdefiniować przy pomocy relacji "leżenia między" dla punktów. Pojawiają sie tu jednak pewne subtelności wynikające z języka jaki przyjęliśmy. Intuicja podpowiada nam, że odcinek i kąt to pewne figury, które np. możemy narysować na płaszczyźnie. Pojęcia figury ani zbioru nie ma jednak w naszym języku. Możemy postąpić dwojako. Można zinterpretować nasze pojęcia pierwotne w teorii która pojęcie zbiór zawiera (więc np. w teorii zbiorów właśnie) i posłużyć się aparatem metateorii. Można też postapić inaczej i zdefiniować kolejne relacje i predykaty oddające nie tyle samo pojęcie odcinka, to bowiem pewnie będzie nieosiągalne, ale ważne do wypowiedzenia twierdzeń relacje np. relację incydencji punktu z odcinkiem, prostej z odcinkiem, potem punktu i prostej z katem itd. I tak incydencja punktu A z odcinkiem BC oznacza tyle, że punkt A jest w relacji "leżenia między" końcami odcinka czyli B i C. Nie potrzeba nam więc własciwie słowa odcinek. Relacja incydencji prostej a z odcinkiem BC zachodzi wtedy, jeżeli istnieje punkt X taki, że X jest w relacji incydencji z odcinekiem BC (dopiero co zdefiniowaliśmy co to znaczy) i jednoczśnie X jest w relacji incydencji z a (pojęcie pierwotne) itd.
6. Z pośród pojęć nowych w aksjomatach grupy III, które wymieniłem w punkcie poprzednim pojęcie "płaszczyzna" nie definiuje się w terminach poprzednich pojęć ale oczywiście powinno zostać wyleliminowane. W języku ściśle formalnym tak właśnie by było, pojecia tego bowiem nie trzeba tam używać. Wszystko co mamy na myśli mówiąc płaszczyzna ukrywa się w stosownym użyciu kwantyfiaktorów. Otóż gdybyśmy porządnie zdefiniowali kąt wystarczyłoby powiedzieć, że są dokładnie dwa różne możliwe sposoby odłożenia kątą przystającego do danego przy półprostej. Co ciekawe, Wydaje się, że w aksjomatach AH.IV.5 i AH.I.3 kryje się istota pojęcia wymiaru - ważnego i skomplikowanego jak się okaże.
7. Aksjomaty AH.V.1 i AH.5.2 dopełniają definicję geometrii o istotne własności metryczne i topologiczne. Omówię je wkrótce osobno.
Przy okazji pisania tego postu przeglądając "Geometrię przeglądową" zorientowałem się, że podany tam aksjomat AH.III.3 ma postać:
AH.III.3' Jeżeli na każdym z dwu przystających odcinków znajduje się taki punkt, że jedna z powstałych części pierwszego odcinka jest przystająca do jednej z częsci drugiego odcinka, to druga część pierwszego z odcinków jest przystająca do drugiej częsci drugiego z nich.
odmienną od przytoczonej przeze mnie. Ponieważ zaglądnąłem do kilku źródeł, przytoczyłem wersję zgodną z oryginalną hilbertowską postacią tego aksjomatu oraz z przytoczoną przez K.Borsuka i W.Szmielew. Pojawia się ciekawe pytanie, na które nie umiem sobie w tej chwili odpowiedzieć: czy systemy z wymienionymi aksjomatami AH.III.3' i AH.III.3 są sobie równoważne. Tzn. z naszego systemu kasjomatów (AH.I.1-AH.V.2) względnie łatwo da się wywieść AH.III.3' jako twierdzenie. Dużo trudniejszym ćwiczeniem zdaje się rozstrzygnięcie czy da się wywieść AH.III.3 jako twierdzenie z systemu aksjomatów z (AH.I.1-AH.III.2,AH.III.3',AH.III.4-AH.V.2).
Chciałbym wkrótce napisać coś jeszcze o geometrii i aksjomatach w tym może pobawić się formalizacją. Opisać narodziny mierzenia i układu współrzędnych, podjąć jeszcze pewne kwestie logiczne ich dotyczące. Pokazać alternatywny układ aksjomatów pochądzący od Tarskiego, poprzypominać sobie ze szkoły bogactwo planimetrii i wszystko to zanim jeszcze dojde z czytaniem Penrose'a do geometrii hiperbolicznej...
Uffff...
Subskrybuj:
Komentarze do posta (Atom)
4 komentarze:
W pewnym kraju zakazano sluchac muzyki, jednak nadal mozna bylo ja tworzyc lub analizowac byle bez wydawania dzwiekow. Tak wiec chociaz sale koncertowe zamilkly na wieki, to przeciez przetrwaly katery muzykologii, badano zapisy nutowe, a nawet starano sie tworzyc nowe symfonie, piesni i piosenki. Oczywiscie drastycznie spadlo publiczne zainteresowanie muzyka jako taka, zali sie nia wylacznie wybotni specjalisci obdazenie zdolnoscia do manipulowania zapisem nutowym bez potrzeby jego nucenia. Po kilkuset latach takiej tradycji, szanowni profesorowie odnotowali dwa ciekawe fakty. Muzyke mozna w ten sposob upawiac. Trudno zrozumiec jej sens.
To apropos bzdury jaka jest formalizacja teorii bez potzreby....
Przyznam, że trochę nie rozumiem.
Formalizacja to jedna z nóg na której stoi matematyka. Nie sprowadza się do niej matematyki - chyba nikt nie mógłby w ściśle formalistycznym rygorze pracować - ale zważa się tworząc matematykę żeby dała się w każdym momencie do sformalizowanego systemu sprowadzić. O ile można się bez niej (formalizacji) obyć w większości "naturalnie" jasnych sytuacji, gdzie struktury na których pracujemy są nam intuicyjnie znane jak w geometrii płaskiej i elementarnej teorii liczb na przykład, o tyle nawet tam w dociekaniach subtelniejszych, do etapu, który wymaga formalizacji się dociera. O konstrukcjach mniej intuicyjnych nie wspomnę.
Postaram się wymienić przynajmniej niektóre pożytki z formalizacji.
Aksjomatyzacja oznacza przerwanie nieskończenie długich łańcuchów w postaci pytań "a to skąd wynika", i zwykle w takim momencie, kiedy stwierdzeń na które się powołuje pytający nie potrafi już uzasadnić niczym innym jak intuicją. W tym sensie jest intuicyjna.
Aksjomatyka jest twórcza. Czasem odkrywa aspekty rzeczywistości. Np. nie byłoby ogólnego pojęcia symetrii bez pojęcia grupy. Identyfikowałoby się (tak jak się to działo) tylko poszczególne symetrie. Aksjomatyka jest tworcza również z tych powodów, że manipulując - np kwestionując niektóre aksjomaty dociera się do alternatywnych w stosunku do pierwotnej intuicji obiektów. To jest esencją odkrycia geometrii hiperbolicznej.
Oczywiście formalizacja to nie tylko aksjomatyzacja. To kwestia sublimacji języka matematyki, aż do kompletnie sztucznego i absolutnie precyzyjnego tworu. OK. Poza nielicznymi nikt tego tak na prawdę nie robi. Ten jezyk byłby zupełnie niestrawny. Możnaby w nim pisać i komunikować informacje, ale nie myśleć w jego kategoriach. Ale to, że potencjalnie można go stworzyć to ważne - to plus metoda aksjomatyczna to podstawa matematyki jako nauki, mimo, że podstawą matematyki, tak jak jest uprawiana przez każdego pojedyńczego matematyka, jest mieszanka rzeczy, które zna bardzo formalnie, mniej formalnie i intuicji które są dalekie od wszelkiego formalizmu. Matematyka nie ma realnego świata w którym można empirycznie weryfikować jej twierdzenia. Ow potencjalnie istniejący ściśle formalny system jest więc jedynym obiektywnym światem do jakiego można się odwołać z pytaniem o prawdę po prostu.
Można zadać pytanie: czy matematyka jest zbyt sformalizowana? To zależy. Jak na mój gust jest w większości sformalizowana i uprawiana formalnie w sam raz. Zresztą pytanie jest nieco zbyt ogólnie postawione
Były w dziejach momenty, kiedy postulaty formalizacji matematyki stawały się szczególnie ważne. Przełom wieku XIX i XX i pierwsze lata tegoż to wielki wysiłek zbadania samych jej podstaw. Odkrycie jakie są możliwości jej ufundowania i na jakich podstawach. Pytania o prawdę matematyki. Mimo, że wydawałoby się, że to kwestie raczej filozoficzne - przeorał w mojej opinii ten ruch praktykę matematyczną: wystarczy porównać sposób pisania prac matematycznych w wieku XIX i XX. Przeorał, bo uzmysłowił głębię i subtelność wielu pojęć i wyczulił na kryjące się w nich pułapki. Czesać włosy można grzebieniem, dzielić na czworo - nie.
Drugi taki moment - który być może trochę krzywdy zrobił, to ruch grupy Bourbaki. Ta piekielnie zdolna grupa, głównie Francuzów, rzeczywiście przesunęła horyzonty i podwyższyła standardy przy okazji mocno algebraizując matematykę. To trochę inny ruch niż formalizacja jak ja ją rozumiem, ale był (i jest) bardzo wpływowy. Również - może trochę niestety - w kręgach zbliżonych do twórców polityki edukacyjnej i programów szkolnych, co zdaje się namieszało i niewykluczone, że narobiło szkody. W tym ostatnim kontekście - nauczania matematyki - analogia do katedr muzyki bez muzyki jest w jakiejś mierze uzasadniona.
Ogólnie rzecz biorąc zgodzę się z ostatnią tezą, że formalizacja bez potrzeby jest bzdurą, ale do znacznej większości (strach mnie zdejmuje przed dużym kwantyfikatorem) matematyki o jaką udało mi się w życiu otrzeć, owa teza się nie stosuje.
Przy okazji ciekaw jestem tego, dlaczego uważasz (o ile dobrze zrozumiałem intencje Twojej odpowiedzi), że posunięto się za daleko. I jak powinno się matematykę w Twojej opinii uprawiać.
Zgadzam sie ze badanie podstaw matematyki wymagalo jej aksjomatyzacji a nawet formalizacji. Zauwaz jednak ze histrorycznie droga byla nieco inna zas formalizacja stala sie zabiegiem ktory w sensie programu pozytywnego zawiodl ale ostal sie jako pewnego rodzaju uzytecxzna technika, forma jezykowa, niemal jak rodaj zapisu ( ktorym oczywiscie nie jest).
1. Odroznialbym oczywiscie aksjomatyzacje od formalizacji. O ile aksjomatyzacja jest uzyteczna i ciekawa na ogol, o tyle formalizacja bywa ( nie zawsze) nader szkodliwa. Jako przyklad podam wlasnie kwestie pedagogiczne. Oczywiscie ze nikt tak matematyki nie uprawia ( no...) ale sa tacy ktorym sie tak wydaje: zapewniam cie.
2. polecam swietna ksiazke Lakatosa 'Dowody i refutacje". Ludzie maja tendencje, nader czesto, do traktowania matematyki i "teorii formalnych" jako synonimow. Tymczasem matematyka jest w moim odczuciu _procesem_ ( dziedzina) ktorej wytworem moga byc, ale bynajmniej nie musza, teorie formalne. To tak jak z muzyka albo malarstwem ( nomen omen dziedzinami sztuki): obraz lub zapis nutowy sa jedynie dzielem, wytworem, ktore byc moze mowi samo za siebie ( tu sztuka jest w szczesliwszym polozeniu niz matematyka, bo dzielo stanowi samo w sobei calosc); troceh podobnie jest z teoria matematyczna. Sadze ze przedstawianie motywacji z jakich dane pojecia sie wywodza jest znacznie bardziej wartosciowe niz przedstawianie pojec samych w sobie. Nie optuje tu za historycznym sledzniem drogi na jakeij sie doszlo do danego ksztaltu powiedzmy definicji, ale na uniknieciu sytuacji w ktorej zamias slowa punkt w aksjomatach Euklidesa uzywa sie slowa "kufel piwa: jak chcial Hilbert.
3. osobna sprawa jest algebraizacja, ktora uwazam za przejaw redukcjonizmu w matematyce. Oczywiscie redukcjonizm jest szalenie skutecznym narzedziem, zwlaszcza w nauce, i jako taki jest uprawomocniony i porzadany. Zarazem nie wiedziec z jakiego powodu, znika z matematyki tak uprawianej, spora doza intuicji, i wiele nalezy samemu sobie dospiewac. Znane sa przyklady rozumowan prowadzonych pezez Feynmanna ktore szalenie pojeciowo proste, i glebokie, zalgebraizowane wydaja sie nieczytelne i skomplikowane a nawet do dzis nie do konca sformalizowane, jak calki potrajektoriach ( mzoe wspolczesnie juz umiemy je formalnie liczyc?)
Reasumujac sadze ze matematyka jest blizsza sztuce niz nauce, a dzieje sie tak miedzy innymi i dlatego, ze matematycy, wobec dobrego obyczaju aksjiomatyzacji, maniery formalizacji i pojsciu na latwizne algebraizacji w istocie _utrudniaja_ zrozumeinie teorii ktore przekazuja, i przypomina to dzialania poety, malarza czy pisarza. Czy Sienkiewicz nei mogl napsiac: " Spora liczba dzieci na wsi marnuje swoj talent muzczny", zamiast pisac "Janka Muzykanta"? Oczywiscie rzecz jest artystycznie uzasadniona. Podobnie jest z matematyka.
Jak dla mnie fizyka w tym przykladzie, takze teoretyczna, idzie w dokladnei odwrotnym kierunku: kazdy dobry podrecznik fizyki jaki widzialem uciekal od zbytniej formalizacji a czesto nawet algebraizacji, zas dobrzy fizycy teoretycy staraja sienie tylko zapisac rownania i podac ich roziwazania, ale takze czesto znalezc _fizyczne_ uzasadnienie czysto algebraicznej metody oichg rozwiazywania ( stad modele dla schematow renormalizacji, back-scateringu, diagonalizacji operatorow itp.). Wydaje mi sie, i tak to wlasnie widze, ze formalizacja jest zabiegiem w znacznej mierze powodowanym stanowiskiem estetycznym a nawet ideologicznym niz rzeczywiscie do czegos potrzebnym, poza oczywiscie dziedzinami metamatematycznymi jak te ktore zajmuja sie np. analiza dowodu, teoria modeli itp.
NO ale to troche takei moje marudzenie: formalizacja jako moda ( tak uwazam ja za mode, mode na abolutna scislosc tam gdzie wystarczy zwykle zrozumeinei i przyklad, w koncu 90% twierdzen matematycznych jest calkowicie intuicyjna, ewentualnie z drobnym oslabieneim ich zalozen, tak aby nie traktowaly o patologiach - wiem wie, dla matematyka one sa wlasnie najciekawsze...) jets uznana wsrod matematykow, i z pwnoscia nie ma co z nia walczyc: nie uznaje jej jednak za przejaw racjonalnego i naturalnego dzialania poza szczegolnymi przypadkami koniecznosci rozstrzygniecia konkretnych sporow formalnych.
Acha - kakaz i fiksacie to ta sama osoba
Prześlij komentarz